Równanie Friedmana

Równanie Friedmana (lub równania Friedmana) to para równań różniczkowych opisujących dynamikę Wszechświata w ramach ogólnej teorii względności. Są one podstawą współczesnej kosmologii i pozwalają wyznaczyć zależności między gęstością energii, ciśnieniem, krzywizną przestrzeni oraz stałą kosmologiczną.

Historia

Równania zostały sformułowane w 1922 roku przez rosyjskiego fizyka Aleksandra Friedmanna, który rozwiązał równania pola Einsteina dla jednorodnego i izotropowego Wszechświata opisującego tzw. metrykę Friedmana‑Lemaître’a‑Robertsona‑Walkera (FLRW). Wkrótce po publikacji Friedmanna, belgijski astronom Georges Lemaître niezależnie uzyskał te same wyniki, co doprowadziło do powszechnego określenia ich jako równania Friedmana.

Podstawy teoretyczne

Równania wywodzą się z równań pola Einsteina:

R_{μν} - ½g_{μν}R + Λg_{μν} = 8πG T_{μν},

gdzie R_{μν} jest tensorem Ricciego, R – skalarem krzywizny, g_{μν} – metryką, Λ – stałą kosmologiczną, G – stałą grawitacji oraz T_{μν} – tensorem energii‑pędu.

Zakładając jednorodność i izotropię (zasada kosmologicznego zasady izotropii i jednorodności), metryka przyjmuje postać:

ds² = -c²dt² + a(t)²
    \left[ \frac{dr²}{1-kr²} + r²(dθ² + sin²θ dφ²) \right],

gdzie a(t) jest czynnikiem skali, a k oznacza krzywiznę przestrzeni (k = -1, 0, +1 dla odpowiednio przestrzeni hiperbolicznej, płaskiej i sferycznej).

Równania Friedmana

Po podstawieniu powyższej metryki do równań pola Einsteina otrzymujemy dwa podstawowe równania:

1. Pierwsze równanie Friedmana (równanie dynamiki):

   \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8πG}{3}ρ - \frac{kc²}{a²} + \frac{Λc²}{3},
   

   gdzie ρ to średnia gęstość energetyczna materii i promieniowania, a kropka nad a oznacza pochodną względem czasu kosmicznego t.
2. Drugie równanie Friedmana (równanie przyspieszenia):

   \frac{\ddot a}{a} = -\frac{4πG}{3}\left(ρ + \frac{3p}{c²}\right) + \frac{Λc²}{3},
   

   gdzie p jest ciśnieniem materii/energii.

Parametry i zmienne

W praktyce równania najczęściej przekształca się do postaci zależnej od tzw. parametrów kosmologicznych:

• Gęstość krytyczna ρ_c = \frac{3H_0²}{8πG}, gdzie H_0 to stała Hubble’a w bieżącej epoce.
• Współczynnik gęstości Ω_i = ρ_i / ρ_c dla poszczególnych składników Wszechświata (materia, promieniowanie, energia ciemna).
• Parametr krzywizny Ω_k = -k c² / (a_0² H_0²).
• Parametr stałej kosmologicznej Ω_Λ = Λc² / (3H_0²).

Rozwiązania

Równania Friedmana pozwalają na wyprowadzenie różnych modeli ewolucji Wszechświata, w zależności od dominującego składnika:

• Wszechświat materii‑dominuowany (Ω_m ≈ 1, Ω_Λ ≈ 0) – rozwiązanie opisuje wolno rozszerzający się Wszechświat, którego tempo przyspieszenia maleje z czasem.
• Wszechświat z dominującą energią ciemną (Ω_Λ > 0) – prowadzi do przyspieszonego rozszerzania, zwanym ekspansją przyspieszoną.
• Model ΛCDM – najczęściej stosowany opis rzeczywistości, łączący materię, ciemną materię (Ω_cdm) i energię ciemną (Ω_Λ) przy zerowej krzywiźnie (k = 0).
• Rozwiązania inflacyjne – w bardzo wczesnym Wszechświecie dominuje potencjał pola skalarnego, co prowadzi do gwałtownego przyspieszenia opisującego inflację kosmologiczną.

Zastosowania

Równania Friedmana są podstawowym narzędziem w:

• analizie danych z obserwacji supernowych typu Ia (Supernowa Ia) oraz kosmicznego mikrofalowego promieniowania tła (CMB),
• modelowaniu struktury dużej skali (struktura Wszechświata),
• badaniu alternatywnych teorii grawitacji (teorie modyfikowane),
• szacowaniu wieku Wszechświata (wiek Wszechświata).

Krytyka i ograniczenia

Mimo że równania Friedmana opisują obserwowane zjawiska z dużą precyzją, mają pewne ograniczenia:

• Zakładają idealną jednorodność i izotropię, co w rzeczywistości jest spełnione jedynie w uśrednieniu na duże skale (> 100 Mpc).
• Nie uwzględniają lokalnych fluktuacji gęstości, które wymagają bardziej szczegółowych metod numerycznych (symulacje kosmologiczne).
• Równania nie mówią nic o genezie stałej kosmologicznej – problem tzw. problemu energii próżni.

Literatura

1. Friedmann, A. (1922). Über die Krümmung des Raumes. Zeitschrift für Physik, 10, 377‑386.
2. Lemaître, G. (1931). A homogeneous universe of constant mass and increasing radius accounting for the radial velocity of extragalactic nebulae. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 91, 483‑490.
3. Weinberg, S. (1972). Gravitation and Cosmology. Wiley.
4. Planck Collaboration (2018). Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astronomy & Astrophysics, 641, A6.

Powiązane pojęcia

Metryka FLRW | Stała Hubble’a | Energia ciemna | Materiał ciemny | Inflacja kosmologiczna